Дроби
Для изучения дробей, разработанная нами программа "Примерчик", имеет в своем составе два специальных модуля: "Сложение и вычитание дробей" и "Умножение и деление дробей".
При запуске заданий из этих модулей, ребенку будут предлагаться примеры с дробями. Вы сами можете установить диапазон используемых знаменателей и таким образом настроить на любой уровень сложности примеров с дробями.
Программа "Примерчик" - это целый комплекс примеров и заданий различного уровня сложности для детей школьного возраста.
"Примерчик" научит вашего ребенка складывать и вычитать, проверит таблицу умножения, поможет в приобретении навыков решения примеров со скобками или "столбиком", научит правильно работать с дробями, протестирует знание иностранных слов и правописание орфограмм по русскому языку.
Обыкновенные дроби Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция деления над натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем понятие дроби. Обыкновенной дробью называется число вида где m и n – натуральные числа. Число m называется числителем этой дроби, а число n – её знаменателем. Если n = 1, то дробь имеет вид и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Две дроби и называются равными, если Например, так как Из этого определения следует, что дробь равна любой дроби вида где m – натуральное число. В самом деле, так как то Итак, мы готовы сформулировать следующее правило. *Основное свойство дроби* Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной. С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например, (здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например, – несократимая дробь. Модель 1.5. Сокращение обыкновенных дробей Обыкновенная дробь называется правильной, если её числитель меньше её знаменателя, то есть m < n. Обыкновенная дробь называется неправильной, если её числитель больше её знаменателя, то есть m > n. Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже): ** Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю. Модель 1.6. Сравнение обыкновенных дробей Пусть, например, даны две дроби и Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, получим Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 4, получим Итак, две дроби и приведены к общему знаменателю: Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит, Следовательно, Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби и можно привести к знаменателю 56. В самом деле: Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей двух данных дробей. *Пример 1* Привести дроби к наименьшему общему знаменателю: и Найдём сперва наименьшее общее кратное чисел 15 и 20. НОК (15, 20) = 60. Так как 60 : 15 = 4, то числитель и знаменатель дроби нужно умножить на 4: Поскольку 60 : 20 = 3, то числитель и знаменатель второй дроби нужно умножить на 3: Итак, дроби приведены к общему знаменателю: Ответ. В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями для первой и второй дроби соответственно. Теперь мы можем определить арифметические действия с дробями. Сложение. Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы сложить эти дроби, нужно сложить их числители; знаменатель остаётся прежним, то есть Если знаменатели данных дробей разные, то дроби нужно сначала привести к общему знаменателю, а потом поступить, как описано выше. Вычитание. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то Если знаменатели данных дробей различны, то сперва приводят дроби к общему знаменателю, а потом вычитают их по вышеприведённой формуле. Модель 1.7. Сложение и вычитание обыкновенных дробей Умножение. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению их знаменателей, то есть Например, Деление. Деление дробей осуществляют следующим образом: Например, В случае умножения и деления смешанных чисел всегда удобно переходить к неправильным дробям. Модель 1.8. Умножение и деление обыкновенных дробей *Пример 2* Сложить две дроби и Ответ представить в виде неправильной дроби. Имеем: Ответ. *Пример 3* Сложить две дроби и Ответ представить в виде неправильной дроби. Имеем: Ответ. Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь такова, что число m кратно n, например, ). *Пример 4* Представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: 1) 2) Имеем: 1) 2) Обычно сумму натурального числа и правильной дроби пишут без знака сложения, то есть вместо пишут просто Неправильная дробь, записанная в такой форме, называется смешанным числом. Говорят, что целая часть этого числа равна 3, а дробная – Ответ. Всякую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Понятно также, что верно и обратное: всякое смешанное число может быть представлено в виде неправильной дроби. Например,