Умножение дробей
Для изучения дробей, разработанная нами программа "Примерчик", имеет в своем составе два специальных модуля: "Сложение и вычитание дробей" и "Умножение и деление дробей".
При запуске заданий из этих модулей, ребенку будут предлагаться примеры с дробями. Вы сами можете установить диапазон используемых знаменателей и таким образом настроить на любой уровень сложности примеров с дробями.
Программа "Примерчик" - это целый комплекс примеров и заданий различного уровня сложности для детей школьного возраста.
"Примерчик" научит вашего ребенка складывать и вычитать, проверит таблицу умножения, поможет в приобретении навыков решения примеров со скобками или "столбиком", научит правильно работать с дробями, протестирует знание иностранных слов и правописание орфограмм по русскому языку.
Для упрощения вычислений, в примерах со скобками ребенок может проставить порядок действий, в решении примеров "столбиком" - указать сколько единиц "держать в уме" или "занимать". При изучении таблицы умножения, иностранных слов и орфограмм по русскому языку, "Примерчик" учитывает ответы ребенка и чаще выдает те задания, в решении которых было допущено наибольшее количество ошибок.
Обыкновенные дроби
Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция
деления над натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем
понятие дроби.
Обыкновенной дробью называется число вида где m и n –
натуральные числа. Число m называется числителем этой дроби, а число n –
её знаменателем.
умножение дробей
Если n = 1, то дробь имеет вид и её часто записывают просто m.
Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в
виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.
Две дроби и называются равными, если
Например, так как Из этого определения следует, что
дробь равна любой дроби вида где m – натуральное число.
В самом деле, так как то Итак, мы готовы сформулировать
следующее правило.
*Основное свойство дроби*
умножение дробей
Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно
и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной.
С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой
дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая
замена называется сокращением дроби. Например, (здесь числитель
и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение
дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и
знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и
знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя,
например, – несократимая дробь.
умножение
Модель 1.5. Сокращение обыкновенных дробей
Обыкновенная дробь называется правильной, если её числитель
меньше её знаменателя, то есть m < n. Обыкновенная дробь называется
неправильной, если её числитель больше её знаменателя, то есть m > n.
Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже):
**
Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального
числа и правильной дроби.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель
которой больше. Например, Из двух дробей с одинаковыми
числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например,
Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями,
нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали
одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему
знаменателю.
Модель 1.6. Сравнение обыкновенных дробей
Пусть, например, даны две дроби и Умножим числитель и
знаменатель первой дроби на 7, получим Умножим числитель и
знаменатель второй дроби на 4, получим Итак, две дроби и
приведены к общему знаменателю:
Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит, Следовательно,
Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему
знаменателю. Так, в нашем примере дроби и можно привести
к знаменателю 56. В самом деле:
Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю,
делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются привести дроби
к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему
кратному знаменателей двух данных дробей.
*Пример 1*
Привести дроби к наименьшему общему знаменателю: и
Найдём сперва наименьшее общее кратное чисел 15 и 20. НОК (15, 20) = 60.
Так как 60 : 15 = 4, то числитель и знаменатель дроби нужно
умножить на 4: Поскольку 60 : 20 = 3, то числитель и знаменатель
второй дроби нужно умножить на 3: Итак, дроби приведены к общему
знаменателю:
Ответ. умножение дробей В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями
для первой и второй дроби соответственно.
Теперь мы можем определить арифметические действия с дробями.
Сложение. Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы сложить эти дроби,
нужно сложить их числители; знаменатель остаётся прежним, то есть
Если знаменатели данных дробей разные, то дроби нужно сначала привести к
общему знаменателю, а потом поступить, как описано выше.
Вычитание. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то
Если знаменатели данных дробей различны, то сперва приводят дроби к
общему знаменателю, а потом вычитают их по вышеприведённой формуле.
Модель 1.7. Сложение и вычитание обыкновенных дробей
Умножение. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен
произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению
их знаменателей, то есть
дробей
Например,
Деление. Деление дробей осуществляют следующим образом:
Например,
В случае умножения и деления смешанных чисел всегда удобно переходить к
неправильным дробям.
умножение
Модель 1.8. Умножение и деление обыкновенных дробей
*Пример 2*
Сложить две дроби и Ответ представить в виде
неправильной дроби.
Имеем:
Ответ.
*Пример 3*
Сложить две дроби и Ответ представить в виде
неправильной дроби.
Имеем:
умножение дробей
Ответ.
Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в
виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде
натурального числа, если дробь такова, что число m кратно n,
например, ).
*Пример 4*
Представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа и
правильной дроби: 1) 2)
Имеем:
1)
2)
Обычно сумму натурального числа и правильной дроби пишут без знака
сложения, то есть вместо пишут просто Неправильная
дробь, записанная в такой форме, называется смешанным числом. Говорят,
что целая часть этого числа равна 3, а дробная –
Ответ.
умножение дробей
Всякую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа (или
в виде натурального числа). Понятно также, что верно и обратное: всякое
смешанное число может быть представлено в виде неправильной дроби.
Например,